{"id":1333,"date":"2026-04-19T13:04:41","date_gmt":"2026-04-19T11:04:41","guid":{"rendered":"https:\/\/trzykody.pl\/?p=1333"},"modified":"2026-04-19T13:04:42","modified_gmt":"2026-04-19T11:04:42","slug":"nww-jak-obliczyc","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/2026\/04\/19\/nww-jak-obliczyc\/","title":{"rendered":"NWW jak obliczy\u0107"},"content":{"rendered":"\n<p>W matematyce szkolnej i w praktycznych obliczeniach bardzo cz\u0119sto pojawia si\u0119 potrzeba znalezienia liczby, kt\u00f3ra jest wsp\u00f3ln\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 kilku innych liczb. Problem wygl\u0105da niepozornie, ale wraca przy u\u0142amkach, harmonogramach, algorytmach i zadaniach zwi\u0105zanych z cykliczno\u015bci\u0105 zdarze\u0144. Najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 pozwala znale\u017a\u0107 najmniejsz\u0105 liczb\u0119 podzieln\u0105 przez wszystkie analizowane warto\u015bci bez reszty. W praktyce szkolnej i programistycznej cz\u0119sto wraca temat <strong>NWW jak obliczy\u0107<\/strong>?.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-rank-math-toc-block\" id=\"rank-math-toc\"><h2>Spis Tre\u015bci<\/h2><nav><ol><li><a href=\"#czym-jest-najmniejsza-wspolna-wielokrotnosc-i-dlaczego-nie-nalezy-jej-mylic-z-najwiekszym-wspolnym-dzielnikiem\">Czym jest najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 i dlaczego nie nale\u017cy jej myli\u0107 z najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem<\/a><\/li><li><a href=\"#nww-jak-obliczyc-przez-rozklad-na-czynniki-pierwsze-krok-po-kroku-bez-pomijania-etapow\">NWW jak obliczy\u0107 przez rozk\u0142ad na czynniki pierwsze krok po kroku bez pomijania etap\u00f3w<\/a><\/li><li><a href=\"#nww-jak-obliczyc-wykorzystujac-zaleznosc-z-nwd-oraz-dlaczego-ta-metoda-bywa-szybsza\">NWW jak obliczy\u0107 wykorzystuj\u0105c zale\u017cno\u015b\u0107 z NWD oraz dlaczego ta metoda bywa szybsza<\/a><\/li><li><a href=\"#nww-jak-obliczyc-w-programowaniu-na-przykladach-w-c-c-i-python\">NWW jak obliczy\u0107 w programowaniu na przyk\u0142adach w C C++ i Python<\/a><ol><li><a href=\"#przyklad-w-jezyku-c\">Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C<\/a><\/li><li><a href=\"#przyklad-w-jezyku-c-1\">Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C++<\/a><\/li><li><a href=\"#przyklad-w-pythonie\">Przyk\u0142ad w Pythonie<\/a><\/li><\/ol><\/li><li><a href=\"#gdzie-ta-wiedza-naprawde-sie-przydaje-i-dlaczego-uczniowie-czesto-nie-widza-sensu-tego-tematu\">Gdzie ta wiedza naprawd\u0119 si\u0119 przydaje i dlaczego uczniowie cz\u0119sto nie widz\u0105 sensu tego tematu<\/a><\/li><li><a href=\"#najczestsze-bledy-w-obliczeniach-oraz-sytuacje-w-ktorych-wynik-wychodzi-bledny-mimo-poprawnego-wzoru\">Najcz\u0119stsze b\u0142\u0119dy w obliczeniach oraz sytuacje, w kt\u00f3rych wynik wychodzi b\u0142\u0119dny mimo poprawnego wzoru<\/a><\/li><li><a href=\"#faq-dotyczace-obliczania-najmniejszej-wspolnej-wielokrotnosci\">FAQ dotycz\u0105ce obliczania najmniejszej wsp\u00f3lnej wielokrotno\u015bci<\/a><ol><li><a href=\"#czy-nww-moze-byc-mniejsze-od-obu-liczb\">Czy NWW mo\u017ce by\u0107 mniejsze od obu liczb?<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-dla-liczb-pierwszych-nww-zawsze-jest-ich-iloczynem\">Czy dla liczb pierwszych NWW zawsze jest ich iloczynem?<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-mozna-liczyc-nww-dla-wiecej-niz-dwoch-liczb\">Czy mo\u017cna liczy\u0107 NWW dla wi\u0119cej ni\u017c dw\u00f3ch liczb?<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-zero-ma-nww\">Czy zero ma NWW?<\/a><\/li><li><a href=\"#ktora-metoda-jest-lepsza-rozklad-czy-wzor-z-nwd\">Kt\u00f3ra metoda jest lepsza: rozk\u0142ad czy wz\u00f3r z NWD?<\/a><\/li><\/ol><\/li><\/ol><\/nav><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"czym-jest-najmniejsza-wspolna-wielokrotnosc-i-dlaczego-nie-nalezy-jej-mylic-z-najwiekszym-wspolnym-dzielnikiem\">Czym jest najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 i dlaczego nie nale\u017cy jej myli\u0107 z najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem<\/h2>\n\n\n\n<p>NWW, czyli najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107, to najmniejsza dodatnia liczba ca\u0142kowita, kt\u00f3ra dzieli si\u0119 przez ka\u017cd\u0105 z podanych liczb bez reszty.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla liczb 4 i 6:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>wielokrotno\u015bci 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24&#8230;<\/li>\n\n\n\n<li>wielokrotno\u015bci 6: 6, 12, 18, 24&#8230;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Pierwsz\u0105 wsp\u00f3ln\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 jest 12, wi\u0119c:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(4, 6) = 12<\/p>\n\n\n\n<p>Bardzo cz\u0119sty b\u0142\u0105d polega na myleniu NWW z NWD.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>NWW szuka wsp\u00f3lnej wielokrotno\u015bci \u201ew g\u00f3r\u0119\u201d<\/li>\n\n\n\n<li>NWD szuka wsp\u00f3lnego dzielnika \u201ew d\u00f3\u0142\u201d<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Dla tych samych liczb:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>NWW(4, 6) = 12<\/li>\n\n\n\n<li>NWD(4, 6) = 2<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>To s\u0105 dwa r\u00f3\u017cne poj\u0119cia i ich zastosowania te\u017c s\u0105 r\u00f3\u017cne. Przy sprowadzaniu u\u0142amk\u00f3w do wsp\u00f3lnego mianownika u\u017cywa si\u0119 NWW, a przy skracaniu u\u0142amk\u00f3w najcz\u0119\u015bciej NWD.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"nww-jak-obliczyc-przez-rozklad-na-czynniki-pierwsze-krok-po-kroku-bez-pomijania-etapow\">NWW jak obliczy\u0107 przez rozk\u0142ad na czynniki pierwsze krok po kroku bez pomijania etap\u00f3w<\/h2>\n\n\n\n<p>To metoda najbardziej intuicyjna i bardzo dobra na pocz\u0105tku nauki, bo pokazuje sk\u0105d wynik faktycznie si\u0119 bierze.<\/p>\n\n\n\n<p>Najpierw rozk\u0142adamy ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 na czynniki pierwsze.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla liczb 12 i 18:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Liczba<\/th><th>Rozk\u0142ad na czynniki pierwsze<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>12<\/td><td>2 \u00d7 2 \u00d7 3 = 2\u00b2 \u00d7 3<\/td><\/tr><tr><td>18<\/td><td>2 \u00d7 3 \u00d7 3 = 2 \u00d7 3\u00b2<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Nast\u0119pnie wybieramy wszystkie wyst\u0119puj\u0105ce liczby pierwsze, ale z najwy\u017csz\u0105 pot\u0119g\u0105.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>dla liczby 2 najwy\u017csza pot\u0119ga to 2\u00b2<\/li>\n\n\n\n<li>dla liczby 3 najwy\u017csza pot\u0119ga to 3\u00b2<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Teraz mno\u017cymy:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Etap<\/th><th>Obliczenie<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Wz\u00f3r<\/td><td>NWW = 2\u00b2 \u00d7 3\u00b2<\/td><\/tr><tr><td>Wynik<\/td><td>4 \u00d7 9 = 36<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Zatem:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(12, 18) = 36<\/p>\n\n\n\n<p>Ta metoda dobrze dzia\u0142a tak\u017ce dla trzech i wi\u0119kszej liczby warto\u015bci.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad dla 8, 12 i 20:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Liczba<\/th><th>Rozk\u0142ad<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>8<\/td><td>2\u00b3<\/td><\/tr><tr><td>12<\/td><td>2\u00b2 \u00d7 3<\/td><\/tr><tr><td>20<\/td><td>2\u00b2 \u00d7 5<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Wybieramy:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>2\u00b3<\/li>\n\n\n\n<li>3<\/li>\n\n\n\n<li>5<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Etap<\/th><th>Obliczenie<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Wz\u00f3r<\/td><td>NWW = 2\u00b3 \u00d7 3 \u00d7 5<\/td><\/tr><tr><td>Wynik<\/td><td>8 \u00d7 3 \u00d7 5 = 120<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Czyli:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(8, 12, 20) = 120<\/p>\n\n\n\n<p>Ta metoda jest bardzo bezpieczna, ale przy du\u017cych liczbach staje si\u0119 czasoch\u0142onna.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"nww-jak-obliczyc-wykorzystujac-zaleznosc-z-nwd-oraz-dlaczego-ta-metoda-bywa-szybsza\">NWW jak obliczy\u0107 wykorzystuj\u0105c zale\u017cno\u015b\u0107 z NWD oraz dlaczego ta metoda bywa szybsza<\/h2>\n\n\n\n<p>W praktyce programistycznej i przy wi\u0119kszych liczbach cz\u0119\u015bciej korzysta si\u0119 z zale\u017cno\u015bci mi\u0119dzy NWW i NWD.<\/p>\n\n\n\n<p>Zale\u017cno\u015b\u0107 wygl\u0105da tak:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Nazwa<\/th><th>Wz\u00f3r<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Relacja mi\u0119dzy NWW i NWD<\/td><td>NWW(a, b) = (a \u00d7 b) \/ NWD(a, b)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>To dzia\u0142a dla dodatnich liczb ca\u0142kowitych.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad dla 24 i 36:<\/p>\n\n\n\n<p>Najpierw liczymy NWD.<\/p>\n\n\n\n<p>NWD(24, 36) = 12<\/p>\n\n\n\n<p>Nast\u0119pnie:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Etap<\/th><th>Obliczenie<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Wz\u00f3r<\/td><td>NWW = (24 \u00d7 36) \/ 12<\/td><\/tr><tr><td>Wynik po mno\u017ceniu<\/td><td>864 \/ 12<\/td><\/tr><tr><td>Wynik ko\u0144cowy<\/td><td>72<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Zatem:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(24, 36) = 72<\/p>\n\n\n\n<p>Dlaczego ta metoda jest wygodna?<\/p>\n\n\n\n<p>Bo NWD bardzo szybko liczy algorytm Euklidesa, nawet dla du\u017cych liczb. Dzi\u0119ki temu nie trzeba r\u0119cznie rozk\u0142ada\u0107 wszystkiego na czynniki pierwsze.<\/p>\n\n\n\n<p>To szczeg\u00f3lnie wa\u017cne w programowaniu i zadaniach konkursowych, gdzie liczy si\u0119 szybko\u015b\u0107 oblicze\u0144.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"nww-jak-obliczyc-w-programowaniu-na-przykladach-w-c-c-i-python\">NWW jak obliczy\u0107 w programowaniu na przyk\u0142adach w C C++ i Python<\/h2>\n\n\n\n<p>W programowaniu najcz\u0119\u015bciej najpierw liczy si\u0119 NWD, a potem korzysta ze wzoru.<\/p>\n\n\n\n<p>To podej\u015bcie jest prostsze, szybsze i mniej podatne na b\u0142\u0119dy.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"przyklad-w-jezyku-c\">Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C<\/h3>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Element<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Program<\/td><td><code>#include &lt;stdio.h&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;int nwd(int a, int b) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while (b != 0) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int temp = b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;b = a % b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a = temp;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;}&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a;&lt;br&gt;}&lt;br&gt;&lt;br&gt;int main() {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int a = 24, b = 36;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int wynik = (a * b) \/ nwd(a, b);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;printf(\"%d\\\\n\", wynik);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return 0;&lt;br&gt;}<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Program wypisze:<\/p>\n\n\n\n<p>72<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"przyklad-w-jezyku-c-1\">Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C++<\/h3>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Element<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Program<\/td><td><code>#include &lt;iostream&gt;&lt;br&gt;using namespace std;&lt;br&gt;&lt;br&gt;int nwd(int a, int b) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while (b != 0) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int temp = b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;b = a % b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a = temp;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;}&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a;&lt;br&gt;}&lt;br&gt;&lt;br&gt;int main() {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int a = 24, b = 36;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int nww = (a * b) \/ nwd(a, b);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;cout &lt;&lt; nww &lt;&lt; endl;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return 0;&lt;br&gt;}<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"przyklad-w-pythonie\">Przyk\u0142ad w Pythonie<\/h3>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Element<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Program<\/td><td><code>def nwd(a, b):&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while b != 0:&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a, b = b, a % b&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a&lt;br&gt;&lt;br&gt;a = 24&lt;br&gt;b = 36&lt;br&gt;&lt;br&gt;nww = (a * b) \/\/ nwd(a, b)&lt;br&gt;print(nww)<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>W Pythonie wa\u017cne jest u\u017cycie operatora <code>\/\/<\/code>, czyli dzielenia ca\u0142kowitego. U\u017cycie zwyk\u0142ego <code>\/<\/code> zwr\u00f3ci liczb\u0119 zmiennoprzecinkow\u0105, co tutaj nie jest potrzebne.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"gdzie-ta-wiedza-naprawde-sie-przydaje-i-dlaczego-uczniowie-czesto-nie-widza-sensu-tego-tematu\">Gdzie ta wiedza naprawd\u0119 si\u0119 przydaje i dlaczego uczniowie cz\u0119sto nie widz\u0105 sensu tego tematu<\/h2>\n\n\n\n<p>Najcz\u0119\u015bciej NWW pojawia si\u0119 przy u\u0142amkach zwyk\u0142ych.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n<p>1\/6 + 1\/8<\/p>\n\n\n\n<p>Trzeba znale\u017a\u0107 wsp\u00f3lny mianownik.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Liczby<\/th><th>Wynik<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>NWW(6, 8)<\/td><td>24<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Dzi\u0119ki temu:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Przekszta\u0142cenie<\/th><th>Wynik<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>1\/6<\/td><td>4\/24<\/td><\/tr><tr><td>1\/8<\/td><td>3\/24<\/td><\/tr><tr><td>Suma<\/td><td>7\/24<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Poza szko\u0142\u0105 podobny mechanizm dzia\u0142a przy harmonogramach.<\/p>\n\n\n\n<p>Je\u015bli jedna maszyna wykonuje cykl co 12 minut, a druga co 18 minut, to pytanie \u201ekiedy spotkaj\u0105 si\u0119 ponownie\u201d sprowadza si\u0119 w\u0142a\u015bnie do NWW.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Dane<\/th><th>Wynik<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Cykle<\/td><td>12 min i 18 min<\/td><\/tr><tr><td>NWW<\/td><td>36 min<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Po 36 minutach oba procesy zn\u00f3w wyst\u0105pi\u0105 jednocze\u015bnie.<\/p>\n\n\n\n<p>Tak samo dzia\u0142a synchronizacja serwer\u00f3w, harmonogram backup\u00f3w, powtarzalne zadania w systemach operacyjnych i planowanie produkcji.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"najczestsze-bledy-w-obliczeniach-oraz-sytuacje-w-ktorych-wynik-wychodzi-bledny-mimo-poprawnego-wzoru\">Najcz\u0119stsze b\u0142\u0119dy w obliczeniach oraz sytuacje, w kt\u00f3rych wynik wychodzi b\u0142\u0119dny mimo poprawnego wzoru<\/h2>\n\n\n\n<p>Najcz\u0119stszy problem to z\u0142y rozk\u0142ad na czynniki pierwsze.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad b\u0142\u0119du:<\/p>\n\n\n\n<p>12 = 2 \u00d7 6<\/p>\n\n\n\n<p>To nie jest pe\u0142ny rozk\u0142ad na czynniki pierwsze, bo 6 nadal jest liczb\u0105 z\u0142o\u017con\u0105.<\/p>\n\n\n\n<p>Poprawnie:<\/p>\n\n\n\n<p>12 = 2 \u00d7 2 \u00d7 3<\/p>\n\n\n\n<p>Drugi b\u0142\u0105d to wybieranie zbyt ma\u0142ych pot\u0119g.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla liczb:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>8 = 2\u00b3<\/li>\n\n\n\n<li>4 = 2\u00b2<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Do NWW trzeba wzi\u0105\u0107 2\u00b3, a nie 2\u00b2.<\/p>\n\n\n\n<p>Trzeci b\u0142\u0105d to pomylenie NWW z iloczynem liczb.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla 4 i 6:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>iloczyn: 24<\/li>\n\n\n\n<li>NWW: 12<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Iloczyn nie zawsze jest poprawnym wynikiem. Dzieje si\u0119 tak tylko wtedy, gdy liczby s\u0105 wzgl\u0119dnie pierwsze, czyli ich NWD wynosi 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Na przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>NWW(5, 7) = 35<\/li>\n\n\n\n<li>bo NWD(5, 7) = 1<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Czwarty problem pojawia si\u0119 w kodzie przy przepe\u0142nieniu typu.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla bardzo du\u017cych liczb:<\/p>\n\n\n\n<p><code>a * b<\/code><\/p>\n\n\n\n<p>mo\u017ce przekroczy\u0107 zakres typu <code>int<\/code>.<\/p>\n\n\n\n<p>Wtedy lepiej u\u017cywa\u0107 <code>long long<\/code> w C\/C++ albo odpowiednio kontrolowa\u0107 kolejno\u015b\u0107 dzia\u0142a\u0144.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"faq-dotyczace-obliczania-najmniejszej-wspolnej-wielokrotnosci\">FAQ dotycz\u0105ce obliczania najmniejszej wsp\u00f3lnej wielokrotno\u015bci<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-nww-moze-byc-mniejsze-od-obu-liczb\">Czy NWW mo\u017ce by\u0107 mniejsze od obu liczb?<\/h3>\n\n\n\n<p>Nie, dla dodatnich liczb ca\u0142kowitych NWW jest zawsze wi\u0119ksze lub r\u00f3wne najwi\u0119kszej z nich. Je\u015bli jedna liczba dzieli drug\u0105, wtedy NWW jest r\u00f3wne tej wi\u0119kszej.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-dla-liczb-pierwszych-nww-zawsze-jest-ich-iloczynem\">Czy dla liczb pierwszych NWW zawsze jest ich iloczynem?<\/h3>\n\n\n\n<p>Tak, je\u015bli s\u0105 to r\u00f3\u017cne liczby pierwsze, poniewa\u017c ich NWD wynosi 1. Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(3, 5) = 15<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-mozna-liczyc-nww-dla-wiecej-niz-dwoch-liczb\">Czy mo\u017cna liczy\u0107 NWW dla wi\u0119cej ni\u017c dw\u00f3ch liczb?<\/h3>\n\n\n\n<p>Tak. Najcz\u0119\u015bciej robi si\u0119 to etapami:<\/p>\n\n\n\n<p>najpierw NWW(a, b), potem wynik z kolejn\u0105 liczb\u0105.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(4, 6, 10)<\/p>\n\n\n\n<p>najpierw:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(4, 6) = 12<\/p>\n\n\n\n<p>potem:<\/p>\n\n\n\n<p>NWW(12, 10) = 60<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-zero-ma-nww\">Czy zero ma NWW?<\/h3>\n\n\n\n<p>Dla zera temat trzeba traktowa\u0107 ostro\u017cnie. W szkolnej praktyce zwykle pracuje si\u0119 na dodatnich liczbach naturalnych wi\u0119kszych od zera. W zastosowaniach formalnych definicje zale\u017c\u0105 od przyj\u0119tej konwencji.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ktora-metoda-jest-lepsza-rozklad-czy-wzor-z-nwd\">Kt\u00f3ra metoda jest lepsza: rozk\u0142ad czy wz\u00f3r z NWD?<\/h3>\n\n\n\n<p>Do nauki lepszy jest rozk\u0142ad na czynniki pierwsze, bo pokazuje mechanizm. W programowaniu i du\u017cych liczbach lepszy jest wz\u00f3r z NWD oraz algorytm Euklidesa.<\/p>\n\n\n\n<p>Najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 nie jest trudnym tematem, ale wymaga dok\u0142adno\u015bci. Wi\u0119kszo\u015b\u0107 b\u0142\u0119d\u00f3w nie wynika z braku wiedzy, tylko z po\u015bpiechu: z\u0142y rozk\u0142ad, pomylone pot\u0119gi albo mechaniczne podstawienie z\u0142ych danych. Je\u015bli pilnuje si\u0119 kolejno\u015bci dzia\u0142a\u0144 i rozumie r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy NWW a NWD, obliczenia staj\u0105 si\u0119 przewidywalne i szybkie.<\/p>\n\n\n\n<p><em>\u0179r\u00f3d\u0142o Foto: Freepik<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W matematyce szkolnej i w praktycznych obliczeniach bardzo cz\u0119sto pojawia si\u0119 potrzeba znalezienia liczby, kt\u00f3ra jest wsp\u00f3ln\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 kilku innych liczb. Problem wygl\u0105da niepozornie, ale wraca przy u\u0142amkach, harmonogramach, algorytmach i zadaniach zwi\u0105zanych z cykliczno\u015bci\u0105 zdarze\u0144. Najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 pozwala znale\u017a\u0107 najmniejsz\u0105 liczb\u0119 podzieln\u0105 przez wszystkie analizowane warto\u015bci bez reszty. W praktyce szkolnej i programistycznej cz\u0119sto wraca temat NWW jak obliczy\u0107?. Czym jest najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 i dlaczego nie nale\u017cy jej myli\u0107 z najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem NWW, czyli najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107, to najmniejsza dodatnia liczba ca\u0142kowita, kt\u00f3ra dzieli si\u0119 przez ka\u017cd\u0105 z podanych liczb bez reszty. Dla liczb 4 i 6: Pierwsz\u0105 wsp\u00f3ln\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 jest 12, wi\u0119c: NWW(4, 6) = 12 Bardzo cz\u0119sty b\u0142\u0105d polega na myleniu NWW z NWD. Dla tych samych liczb: To s\u0105 dwa r\u00f3\u017cne poj\u0119cia i ich zastosowania te\u017c s\u0105 r\u00f3\u017cne. Przy sprowadzaniu u\u0142amk\u00f3w do wsp\u00f3lnego mianownika u\u017cywa si\u0119 NWW, a przy skracaniu u\u0142amk\u00f3w najcz\u0119\u015bciej NWD. NWW jak obliczy\u0107 przez rozk\u0142ad na czynniki pierwsze krok po kroku bez pomijania etap\u00f3w To metoda najbardziej intuicyjna i bardzo dobra na pocz\u0105tku nauki, bo pokazuje sk\u0105d wynik faktycznie si\u0119 bierze. Najpierw rozk\u0142adamy ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 na czynniki pierwsze. Dla liczb 12 i 18: Liczba Rozk\u0142ad na czynniki pierwsze 12 2 \u00d7 2 \u00d7 3 = 2\u00b2 \u00d7 3 18 2 \u00d7 3 \u00d7 3 = 2 \u00d7 3\u00b2 Nast\u0119pnie wybieramy wszystkie wyst\u0119puj\u0105ce liczby pierwsze, ale z najwy\u017csz\u0105 pot\u0119g\u0105. Teraz mno\u017cymy: Etap Obliczenie Wz\u00f3r NWW = 2\u00b2 \u00d7 3\u00b2 Wynik 4 \u00d7 9 = 36 Zatem: NWW(12, 18) = 36 Ta metoda dobrze dzia\u0142a tak\u017ce dla trzech i wi\u0119kszej liczby warto\u015bci. Przyk\u0142ad dla 8, 12 i 20: Liczba Rozk\u0142ad 8 2\u00b3 12 2\u00b2 \u00d7 3 20 2\u00b2 \u00d7 5 Wybieramy: Etap Obliczenie Wz\u00f3r NWW = 2\u00b3 \u00d7 3 \u00d7 5 Wynik 8 \u00d7 3 \u00d7 5 = 120 Czyli: NWW(8, 12, 20) = 120 Ta metoda jest bardzo bezpieczna, ale przy du\u017cych liczbach staje si\u0119 czasoch\u0142onna. NWW jak obliczy\u0107 wykorzystuj\u0105c zale\u017cno\u015b\u0107 z NWD oraz dlaczego ta metoda bywa szybsza W praktyce programistycznej i przy wi\u0119kszych liczbach cz\u0119\u015bciej korzysta si\u0119 z zale\u017cno\u015bci mi\u0119dzy NWW i NWD. Zale\u017cno\u015b\u0107 wygl\u0105da tak: Nazwa Wz\u00f3r Relacja mi\u0119dzy NWW i NWD NWW(a, b) = (a \u00d7 b) \/ NWD(a, b) To dzia\u0142a dla dodatnich liczb ca\u0142kowitych. Przyk\u0142ad dla 24 i 36: Najpierw liczymy NWD. NWD(24, 36) = 12 Nast\u0119pnie: Etap Obliczenie Wz\u00f3r NWW = (24 \u00d7 36) \/ 12 Wynik po mno\u017ceniu 864 \/ 12 Wynik ko\u0144cowy 72 Zatem: NWW(24, 36) = 72 Dlaczego ta metoda jest wygodna? Bo NWD bardzo szybko liczy algorytm Euklidesa, nawet dla du\u017cych liczb. Dzi\u0119ki temu nie trzeba r\u0119cznie rozk\u0142ada\u0107 wszystkiego na czynniki pierwsze. To szczeg\u00f3lnie wa\u017cne w programowaniu i zadaniach konkursowych, gdzie liczy si\u0119 szybko\u015b\u0107 oblicze\u0144. NWW jak obliczy\u0107 w programowaniu na przyk\u0142adach w C C++ i Python W programowaniu najcz\u0119\u015bciej najpierw liczy si\u0119 NWD, a potem korzysta ze wzoru. To podej\u015bcie jest prostsze, szybsze i mniej podatne na b\u0142\u0119dy. Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C Element Kod Program #include &lt;stdio.h&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;int nwd(int a, int b) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while (b != 0) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int temp = b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;b = a % b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a = temp;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;}&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a;&lt;br&gt;}&lt;br&gt;&lt;br&gt;int main() {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int a = 24, b = 36;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int wynik = (a * b) \/ nwd(a, b);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;printf(&#8222;%d\\\\n&#8221;, wynik);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return 0;&lt;br&gt;} Program wypisze: 72 Przyk\u0142ad w j\u0119zyku C++ Element Kod Program #include &lt;iostream&gt;&lt;br&gt;using namespace std;&lt;br&gt;&lt;br&gt;int nwd(int a, int b) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while (b != 0) {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int temp = b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;b = a % b;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a = temp;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;}&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a;&lt;br&gt;}&lt;br&gt;&lt;br&gt;int main() {&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int a = 24, b = 36;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;int nww = (a * b) \/ nwd(a, b);&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;cout &lt;&lt; nww &lt;&lt; endl;&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return 0;&lt;br&gt;} Przyk\u0142ad w Pythonie Element Kod Program def nwd(a, b):&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;while b != 0:&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;a, b = b, a % b&lt;br&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;return a&lt;br&gt;&lt;br&gt;a = 24&lt;br&gt;b = 36&lt;br&gt;&lt;br&gt;nww = (a * b) \/\/ nwd(a, b)&lt;br&gt;print(nww) W Pythonie wa\u017cne jest u\u017cycie operatora \/\/, czyli dzielenia ca\u0142kowitego. U\u017cycie zwyk\u0142ego \/ zwr\u00f3ci liczb\u0119 zmiennoprzecinkow\u0105, co tutaj nie jest potrzebne. Gdzie ta wiedza naprawd\u0119 si\u0119 przydaje i dlaczego uczniowie cz\u0119sto nie widz\u0105 sensu tego tematu Najcz\u0119\u015bciej NWW pojawia si\u0119 przy u\u0142amkach zwyk\u0142ych. Przyk\u0142ad: 1\/6 + 1\/8 Trzeba znale\u017a\u0107 wsp\u00f3lny mianownik. Liczby Wynik NWW(6, 8) 24 Dzi\u0119ki temu: Przekszta\u0142cenie Wynik 1\/6 4\/24 1\/8 3\/24 Suma 7\/24 Poza szko\u0142\u0105 podobny mechanizm dzia\u0142a przy harmonogramach. Je\u015bli jedna maszyna wykonuje cykl co 12 minut, a druga co 18 minut, to pytanie \u201ekiedy spotkaj\u0105 si\u0119 ponownie\u201d sprowadza si\u0119 w\u0142a\u015bnie do NWW. Dane Wynik Cykle 12 min i 18 min NWW 36 min Po 36 minutach oba procesy zn\u00f3w wyst\u0105pi\u0105 jednocze\u015bnie. Tak samo dzia\u0142a synchronizacja serwer\u00f3w, harmonogram backup\u00f3w, powtarzalne zadania w systemach operacyjnych i planowanie produkcji. Najcz\u0119stsze b\u0142\u0119dy w obliczeniach oraz sytuacje, w kt\u00f3rych wynik wychodzi b\u0142\u0119dny mimo poprawnego wzoru Najcz\u0119stszy problem to z\u0142y rozk\u0142ad na czynniki pierwsze. Przyk\u0142ad b\u0142\u0119du: 12 = 2 \u00d7 6 To nie jest pe\u0142ny rozk\u0142ad na czynniki pierwsze, bo 6 nadal jest liczb\u0105 z\u0142o\u017con\u0105. Poprawnie: 12 = 2 \u00d7 2 \u00d7 3 Drugi b\u0142\u0105d to wybieranie zbyt ma\u0142ych pot\u0119g. Dla liczb: Do NWW trzeba wzi\u0105\u0107 2\u00b3, a nie 2\u00b2. Trzeci b\u0142\u0105d to pomylenie NWW z iloczynem liczb. Dla 4 i 6: Iloczyn nie zawsze jest poprawnym wynikiem. Dzieje si\u0119 tak tylko wtedy, gdy liczby s\u0105 wzgl\u0119dnie pierwsze, czyli ich NWD wynosi 1. Na przyk\u0142ad: Czwarty problem pojawia si\u0119 w kodzie przy przepe\u0142nieniu typu. Dla bardzo du\u017cych liczb: a * b mo\u017ce przekroczy\u0107 zakres typu int. Wtedy lepiej u\u017cywa\u0107 long long w C\/C++ albo odpowiednio kontrolowa\u0107 kolejno\u015b\u0107 dzia\u0142a\u0144. FAQ dotycz\u0105ce obliczania najmniejszej wsp\u00f3lnej wielokrotno\u015bci Czy NWW mo\u017ce by\u0107 mniejsze od obu liczb? Nie, dla dodatnich liczb ca\u0142kowitych NWW jest zawsze wi\u0119ksze lub r\u00f3wne najwi\u0119kszej z nich. Je\u015bli jedna liczba dzieli drug\u0105, wtedy NWW jest r\u00f3wne tej wi\u0119kszej. Czy dla liczb pierwszych NWW zawsze jest ich iloczynem? Tak, je\u015bli s\u0105 to r\u00f3\u017cne liczby pierwsze, poniewa\u017c ich NWD wynosi 1. Przyk\u0142ad: NWW(3, 5) = 15 Czy mo\u017cna liczy\u0107 NWW dla wi\u0119cej ni\u017c dw\u00f3ch liczb? Tak. Najcz\u0119\u015bciej robi si\u0119 to etapami: najpierw NWW(a, b), potem wynik z kolejn\u0105 liczb\u0105. Przyk\u0142ad: NWW(4, 6, 10) najpierw: NWW(4, 6) = 12 potem: NWW(12, 10) = 60 Czy zero ma NWW? Dla zera temat trzeba traktowa\u0107 ostro\u017cnie. W szkolnej praktyce zwykle pracuje si\u0119 na dodatnich liczbach naturalnych wi\u0119kszych od zera. W zastosowaniach formalnych definicje zale\u017c\u0105 od przyj\u0119tej konwencji. Kt\u00f3ra metoda jest lepsza: rozk\u0142ad czy wz\u00f3r z NWD? Do nauki lepszy jest rozk\u0142ad na czynniki pierwsze, bo pokazuje mechanizm. W programowaniu i du\u017cych liczbach lepszy jest wz\u00f3r z NWD oraz algorytm Euklidesa. Najmniejsza wsp\u00f3lna wielokrotno\u015b\u0107 nie jest trudnym tematem, ale wymaga dok\u0142adno\u015bci. Wi\u0119kszo\u015b\u0107 b\u0142\u0119d\u00f3w nie wynika z braku wiedzy, tylko z po\u015bpiechu: z\u0142y rozk\u0142ad, pomylone pot\u0119gi albo mechaniczne podstawienie z\u0142ych danych. Je\u015bli pilnuje si\u0119 kolejno\u015bci dzia\u0142a\u0144 i rozumie r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy NWW a NWD, obliczenia staj\u0105 si\u0119 przewidywalne i szybkie. \u0179r\u00f3d\u0142o Foto: Freepik<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1334,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-1333","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-poradnik"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1333","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1333"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1333\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1335,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1333\/revisions\/1335"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1334"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1333"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1333"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1333"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}