{"id":1336,"date":"2026-04-19T13:09:17","date_gmt":"2026-04-19T11:09:17","guid":{"rendered":"https:\/\/trzykody.pl\/?p=1336"},"modified":"2026-04-19T13:09:22","modified_gmt":"2026-04-19T11:09:22","slug":"liczby-parzyste","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/2026\/04\/19\/liczby-parzyste\/","title":{"rendered":"Liczby parzyste"},"content":{"rendered":"\n<p>Arytmetyka zaczyna si\u0119 od prostych obserwacji: jedne warto\u015bci mo\u017cna rozdzieli\u0107 na r\u00f3wne pary bez reszty, a inne zawsze zostawiaj\u0105 pojedynczy element. To rozr\u00f3\u017cnienie wydaje si\u0119 szkolne i oczywiste, ale wraca p\u00f3\u017aniej w algebrze, kryptografii, analizie algorytm\u00f3w, projektowaniu struktur danych i nawet w elektronice cyfrowej. Bardzo wiele regu\u0142 matematycznych opiera si\u0119 w\u0142a\u015bnie na w\u0142asno\u015bci podzielno\u015bci przez 2, dlatego punktem wyj\u015bcia do dalszego rozumienia s\u0105 <strong>liczby parzyste<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-rank-math-toc-block\" id=\"rank-math-toc\"><h2>Spis Tre\u015bci<\/h2><nav><ol><li><a href=\"#dlaczego-liczby-parzyste-sa-jednym-z-pierwszych-pojec-porzadkujacych-arytmetyke\">Dlaczego Liczby parzyste s\u0105 jednym z pierwszych poj\u0119\u0107 porz\u0105dkuj\u0105cych arytmetyk\u0119<\/a><ol><li><a href=\"#formalna-definicja-i-zapis-matematyczny\">Formalna definicja i zapis matematyczny<\/a><\/li><\/ol><\/li><li><a href=\"#jak-liczby-parzyste-opisuje-sie-formalnie-w-algebrze-i-teorii-podzielnosci\">Jak Liczby parzyste opisuje si\u0119 formalnie w algebrze i teorii podzielno\u015bci<\/a><ol><li><a href=\"#suma-i-roznica\">Suma i r\u00f3\u017cnica<\/a><\/li><li><a href=\"#iloczyn-i-potegi\">Iloczyn i pot\u0119gi<\/a><\/li><li><a href=\"#reszta-z-dzielenia-i-zapis-modulo\">Reszta z dzielenia i zapis modulo<\/a><\/li><\/ol><\/li><li><a href=\"#gdzie-liczby-parzyste-pojawiaja-sie-w-programowaniu-algorytmach-i-analizie-danych\">Gdzie Liczby parzyste pojawiaj\u0105 si\u0119 w programowaniu, algorytmach i analizie danych<\/a><ol><li><a href=\"#sprawdzanie-warunku-w-pythonie-c-i-c\">Sprawdzanie warunku w Pythonie, C i C++<\/a><\/li><li><a href=\"#operacje-bitowe-zamiast-modulo\">Operacje bitowe zamiast modulo<\/a><\/li><li><a href=\"#zastosowanie-w-indeksowaniu-tablic\">Zastosowanie w indeksowaniu tablic<\/a><\/li><li><a href=\"#algorytm-szybkiego-potegowania\">Algorytm szybkiego pot\u0119gowania<\/a><\/li><\/ol><\/li><li><a href=\"#typowe-bledy-praktyczne-i-miejsca-gdzie-najlatwiej-o-pomylke\">Typowe b\u0142\u0119dy praktyczne i miejsca, gdzie naj\u0142atwiej o pomy\u0142k\u0119<\/a><\/li><li><a href=\"#faq\">FAQ<\/a><ol><li><a href=\"#czy-zero-nalezy-do-liczb-parzystych\">Czy zero nale\u017cy do liczb parzystych<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-liczby-ujemne-tez-moga-byc-parzyste\">Czy liczby ujemne te\u017c mog\u0105 by\u0107 parzyste<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-sprawdzanie-przez-modulo-i-przez-operator-bitowy-daje-ten-sam-wynik\">Czy sprawdzanie przez modulo i przez operator bitowy daje ten sam wynik<\/a><\/li><li><a href=\"#dlaczego-parzystosc-jest-wazna-w-algorytmach\">Dlaczego parzysto\u015b\u0107 jest wa\u017cna w algorytmach<\/a><\/li><li><a href=\"#czy-liczba-pierwsza-moze-byc-parzysta\">Czy liczba pierwsza mo\u017ce by\u0107 parzysta<\/a><\/li><\/ol><\/li><\/ol><\/nav><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"dlaczego-liczby-parzyste-sa-jednym-z-pierwszych-pojec-porzadkujacych-arytmetyke\">Dlaczego Liczby parzyste s\u0105 jednym z pierwszych poj\u0119\u0107 porz\u0105dkuj\u0105cych arytmetyk\u0119<\/h2>\n\n\n\n<p>Parzysto\u015b\u0107 jest jedn\u0105 z najprostszych w\u0142asno\u015bci liczby ca\u0142kowitej. Nie zale\u017cy od wielko\u015bci liczby, tylko od jej relacji z dzieleniem przez 2. Je\u015bli po podzieleniu przez 2 nie pozostaje reszta, m\u00f3wimy o parzysto\u015bci dodatniej dla tej w\u0142asno\u015bci.<\/p>\n\n\n\n<p>To wa\u017cne z dw\u00f3ch powod\u00f3w.<\/p>\n\n\n\n<p>Po pierwsze, pozwala szybko klasyfikowa\u0107 liczby bez wykonywania z\u0142o\u017conych oblicze\u0144. W systemie dziesi\u0119tnym wystarczy spojrze\u0107 na ostatni\u0105 cyfr\u0119. Je\u015bli ko\u0144czy si\u0119 na 0, 2, 4, 6 lub 8, w\u0142asno\u015b\u0107 jest spe\u0142niona.<\/p>\n\n\n\n<p>Po drugie, parzysto\u015b\u0107 zachowuje si\u0119 przewidywalnie przy dzia\u0142aniach algebraicznych. Dzi\u0119ki temu mo\u017cna bez liczenia pe\u0142nego wyniku okre\u015bli\u0107 cechy sumy, r\u00f3\u017cnicy lub iloczynu.<\/p>\n\n\n\n<p>W praktyce szkolnej to wygl\u0105da banalnie, ale w informatyce jest bardzo u\u017cyteczne. Program nie musi zna\u0107 ca\u0142ej warto\u015bci ogromnej liczby, \u017ceby sprawdzi\u0107 jej klas\u0119 wzgl\u0119dem modulo 2. W wielu algorytmach to oszcz\u0119dza czas.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"formalna-definicja-i-zapis-matematyczny\">Formalna definicja i zapis matematyczny<\/h3>\n\n\n\n<p>Najkr\u00f3tsza definicja brzmi: liczba ca\u0142kowita jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie ca\u0142kowite <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">k<\/annotation><\/semantics><\/math>k, \u017ce mo\u017cna j\u0105 zapisa\u0107 jako <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">2k<\/annotation><\/semantics><\/math>2k.<\/p>\n\n\n\n<p>To wa\u017cniejsze ni\u017c sama regu\u0142a z ostatni\u0105 cyfr\u0105, poniewa\u017c dzia\u0142a nie tylko dla liczb dodatnich, ale te\u017c dla zera i liczb ujemnych.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Poj\u0119cie<\/th><th>Zapis<\/th><th>Przyk\u0142ad<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Definicja algebraiczna<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mtext>&nbsp;<\/mtext><mi>k<\/mi><mo>\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"double-struck\">Z<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">n = 2k,\\ k \\in \\mathbb{Z}<\/annotation><\/semantics><\/math>n=2k,&nbsp;k\u2208Z<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>14<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u22c5<\/mo><mn>7<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">14 = 2 \\cdot 7<\/annotation><\/semantics><\/math>14=2\u22c57<\/td><\/tr><tr><td>Zero<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>0<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u22c5<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">0 = 2 \\cdot 0<\/annotation><\/semantics><\/math>0=2\u22c50<\/td><td>zero spe\u0142nia warunek<\/td><\/tr><tr><td>Liczba ujemna<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mo>\u2212<\/mo><mn>8<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u22c5<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mo>\u2212<\/mo><mn>4<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">-8 = 2 \\cdot (-4)<\/annotation><\/semantics><\/math>\u22128=2\u22c5(\u22124)<\/td><td>w\u0142asno\u015b\u0107 nadal obowi\u0105zuje<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Cz\u0119sty b\u0142\u0105d uczni\u00f3w polega na traktowaniu zera jako przypadku specjalnego \u201ebez kategorii\u201d. Matematycznie nie ma tu wyj\u0105tku \u2014 zero nale\u017cy do tej grupy.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"jak-liczby-parzyste-opisuje-sie-formalnie-w-algebrze-i-teorii-podzielnosci\">Jak Liczby parzyste opisuje si\u0119 formalnie w algebrze i teorii podzielno\u015bci<\/h2>\n\n\n\n<p>Najwi\u0119ksza warto\u015b\u0107 tego poj\u0119cia pojawia si\u0119 wtedy, gdy zaczynamy analizowa\u0107 dzia\u0142ania na liczbach.<\/p>\n\n\n\n<p>Nie chodzi ju\u017c o samo rozpoznanie, ale o przewidywanie wyniku bez wykonywania pe\u0142nych oblicze\u0144.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"suma-i-roznica\">Suma i r\u00f3\u017cnica<\/h3>\n\n\n\n<p>Je\u015bli dodamy dwie liczby tej samej parzysto\u015bci, wynik zachowa w\u0142asno\u015b\u0107 parzysto\u015bci. Je\u015bli parzysto\u015b\u0107 jest r\u00f3\u017cna, wynik b\u0119dzie nieparzysty.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Operacja<\/th><th>Wz\u00f3r<\/th><th>Wynik<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>parzysta + parzysta<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mn>2<\/mn><mi>b<\/mi><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mi>b<\/mi><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">2a + 2b = 2(a+b)<\/annotation><\/semantics><\/math>2a+2b=2(a+b)<\/td><td>parzysta<\/td><\/tr><tr><td>nieparzysta + nieparzysta<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>+<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>b<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mi>b<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)<\/annotation><\/semantics><\/math>(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)<\/td><td>parzysta<\/td><\/tr><tr><td>parzysta + nieparzysta<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>b<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">2a + (2b+1)<\/annotation><\/semantics><\/math>2a+(2b+1)<\/td><td>nieparzysta<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Ta regu\u0142a jest bardzo u\u017cywana w dowodach matematycznych, szczeg\u00f3lnie przy dowodach nie wprost.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad klasyczny: pokazanie, \u017ce pierwiastek z 2 nie jest liczb\u0105 wymiern\u0105 wykorzystuje analiz\u0119 parzysto\u015bci kwadrat\u00f3w liczb ca\u0142kowitych.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"iloczyn-i-potegi\">Iloczyn i pot\u0119gi<\/h3>\n\n\n\n<p>Je\u015bli cho\u0107 jeden czynnik ma w\u0142asno\u015b\u0107 podzielno\u015bci przez 2, ca\u0142y iloczyn te\u017c j\u0105 ma.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Operacja<\/th><th>Wz\u00f3r<\/th><th>Wniosek<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>iloczyn<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><mo>\u22c5<\/mo><mi>b<\/mi><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mi>b<\/mi><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">2a \\cdot b = 2(ab)<\/annotation><\/semantics><\/math>2a\u22c5b=2(ab)<\/td><td>wynik parzysty<\/td><\/tr><tr><td>kwadrat liczby parzystej<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><msup><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mn>2<\/mn><\/msup><mo>=<\/mo><mn>4<\/mn><msup><mi>a<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">(2a)^2 = 4a^2<\/annotation><\/semantics><\/math>(2a)2=4a2<\/td><td>wynik parzysty<\/td><\/tr><tr><td>kwadrat liczby nieparzystej<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><msup><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">(2a+1)^2<\/annotation><\/semantics><\/math>(2a+1)2<\/td><td>wynik nieparzysty<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>To istotne np. w analizie p\u00f3l figur na siatkach dyskretnych albo w zadaniach olimpijskich.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"reszta-z-dzielenia-i-zapis-modulo\">Reszta z dzielenia i zapis modulo<\/h3>\n\n\n\n<p>W informatyce zamiast s\u0142owa \u201eparzysto\u015b\u0107\u201d cz\u0119\u015bciej u\u017cywa si\u0119 operacji modulo.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla dzielenia przez 2 mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwie reszty:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>0<\/li>\n\n\n\n<li>1<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>To tworzy bardzo prosty model binarny.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Warunek<\/th><th>Interpretacja<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mspace><\/mspace><mspace width=\"0.6667em\"><\/mspace><mrow><mi mathvariant=\"normal\">m<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">o<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">d<\/mi><\/mrow><mtext>\u2009<\/mtext><mtext>\u2009<\/mtext><mn>2<\/mn><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">n \\mod 2 = 0<\/annotation><\/semantics><\/math>nmod2=0<\/td><td>liczba parzysta<\/td><\/tr><tr><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>n<\/mi><mspace><\/mspace><mspace width=\"0.6667em\"><\/mspace><mrow><mi mathvariant=\"normal\">m<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">o<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">d<\/mi><\/mrow><mtext>\u2009<\/mtext><mtext>\u2009<\/mtext><mn>2<\/mn><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">n \\mod 2 = 1<\/annotation><\/semantics><\/math>nmod2=1<\/td><td>liczba nieparzysta<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>W systemach komputerowych jest to szczeg\u00f3lnie naturalne, bo sprz\u0119t operuje na bitach. Najm\u0142odszy bit liczby ca\u0142kowitej m\u00f3wi od razu, czy warunek jest spe\u0142niony.<\/p>\n\n\n\n<p>Bit 0 oznacza podzielno\u015b\u0107 przez 2, bit 1 oznacza jej brak.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"gdzie-liczby-parzyste-pojawiaja-sie-w-programowaniu-algorytmach-i-analizie-danych\">Gdzie Liczby parzyste pojawiaj\u0105 si\u0119 w programowaniu, algorytmach i analizie danych<\/h2>\n\n\n\n<p>Programista spotyka t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107 znacznie cz\u0119\u015bciej ni\u017c zwykle zauwa\u017ca.<\/p>\n\n\n\n<p>Nie chodzi tylko o zadania szkolne typu \u201esprawd\u017a czy liczba jest parzysta\u201d, ale o realne decyzje dotycz\u0105ce wydajno\u015bci, indeksowania tablic, pracy na pami\u0119ci i projektowania algorytm\u00f3w.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"sprawdzanie-warunku-w-pythonie-c-i-c\">Sprawdzanie warunku w Pythonie, C i C++<\/h3>\n\n\n\n<p>Najcz\u0119stszy zapis wykorzystuje operator modulo.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>J\u0119zyk<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Python<\/td><td><code>python\\nn = int(input())\\nif n % 2 == 0:\\n print(\\\"parzysta\\\")\\nelse:\\n print(\\\"nieparzysta\\\")\\n<\/code><\/td><\/tr><tr><td>C<\/td><td><code>c\\n#include &lt;stdio.h&gt;\\n\\nint main() {\\n int n;\\n scanf(\\\"%d\\\", &amp;n);\\n\\n if (n % 2 == 0)\\n printf(\\\"parzysta\\\\n\\\");\\n else\\n printf(\\\"nieparzysta\\\\n\\\");\\n\\n return 0;\\n}\\n<\/code><\/td><\/tr><tr><td>C++<\/td><td><code>cpp\\n#include &lt;iostream&gt;\\nusing namespace std;\\n\\nint main() {\\n int n;\\n cin &gt;&gt; n;\\n\\n if (n % 2 == 0)\\n cout &lt;&lt; \\\"parzysta\\\" &lt;&lt; endl;\\n else\\n cout &lt;&lt; \\\"nieparzysta\\\" &lt;&lt; endl;\\n\\n return 0;\\n}\\n<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>To rozwi\u0105zanie jest poprawne i czytelne.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"operacje-bitowe-zamiast-modulo\">Operacje bitowe zamiast modulo<\/h3>\n\n\n\n<p>W kodzie niskopoziomowym cz\u0119sto u\u017cywa si\u0119 operatora bitowego AND.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>J\u0119zyk<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>C<\/td><td><code>c\\nif ((n &amp; 1) == 0)\\n printf(\\\"parzysta\\\\n\\\");\\n<\/code><\/td><\/tr><tr><td>Python<\/td><td><code>python\\nif (n &amp; 1) == 0:\\n print(\\\"parzysta\\\")\\n<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Dlaczego to dzia\u0142a?<\/p>\n\n\n\n<p>Liczba binarna ko\u0144cz\u0105ca si\u0119 bitem 0 jest podzielna przez 2. Operacja <code>n &amp; 1<\/code> sprawdza w\u0142a\u015bnie ostatni bit.<\/p>\n\n\n\n<p>Dla ogromnej liczby iteracji taka forma bywa korzystna, cho\u0107 w nowoczesnych kompilatorach r\u00f3\u017cnica cz\u0119sto jest minimalna.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"zastosowanie-w-indeksowaniu-tablic\">Zastosowanie w indeksowaniu tablic<\/h3>\n\n\n\n<p>W wielu algorytmach elementy o indeksach parzystych i nieparzystych traktuje si\u0119 osobno.<\/p>\n\n\n\n<p>Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>sortowanie pozycji co drugi element<\/li>\n\n\n\n<li>przetwarzanie sygna\u0142\u00f3w<\/li>\n\n\n\n<li>algorytmy grafowe warstwowe<\/li>\n\n\n\n<li>analiza macierzy szachownicowej<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Przyk\u0142ad Python<\/th><th>Kod<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>suma indeks\u00f3w parzystych<\/td><td><code>python\\narr = [4, 7, 2, 9, 6, 1]\\nsuma = 0\\n\\nfor i in range(len(arr)):\\n if i % 2 == 0:\\n suma += arr[i]\\n\\nprint(suma)\\n<\/code><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Tutaj sprawdzana jest parzysto\u015b\u0107 indeksu, nie warto\u015bci elementu. To cz\u0119sty punkt pomy\u0142ki.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"algorytm-szybkiego-potegowania\">Algorytm szybkiego pot\u0119gowania<\/h3>\n\n\n\n<p>Jedno z wa\u017cniejszych praktycznych zastosowa\u0144 wyst\u0119puje przy szybkim pot\u0119gowaniu.<\/p>\n\n\n\n<p>Je\u015bli wyk\u0142adnik jest parzysty, mo\u017cna przej\u015b\u0107 do:<math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\" display=\"block\"><semantics><mrow><msup><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><mo>=<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><msup><mi>a<\/mi><mrow><mi>n<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">\/<\/mi><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msup><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">a^n = (a^{n\/2})^2<\/annotation><\/semantics><\/math>an=(an\/2)2<\/p>\n\n\n\n<p>To drastycznie zmniejsza liczb\u0119 operacji.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><thead><tr><th>Idea algorytmu<\/th><th>Zapis<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>wyk\u0142adnik parzysty<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><msup><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><mo>=<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><msup><mi>a<\/mi><mrow><mi>n<\/mi><mi mathvariant=\"normal\">\/<\/mi><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msup><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">a^n = (a^{n\/2})^2<\/annotation><\/semantics><\/math>an=(an\/2)2<\/td><\/tr><tr><td>wyk\u0142adnik nieparzysty<\/td><td><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><msup><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><mo>=<\/mo><mi>a<\/mi><mo>\u22c5<\/mo><msup><mi>a<\/mi><mrow><mi>n<\/mi><mo>\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">a^n = a \\cdot a^{n-1}<\/annotation><\/semantics><\/math>an=a\u22c5an\u22121<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Ta zasada jest podstaw\u0105 wielu algorytm\u00f3w kryptograficznych.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"typowe-bledy-praktyczne-i-miejsca-gdzie-najlatwiej-o-pomylke\">Typowe b\u0142\u0119dy praktyczne i miejsca, gdzie naj\u0142atwiej o pomy\u0142k\u0119<\/h2>\n\n\n\n<p>Pierwszy b\u0142\u0105d to nieuwzgl\u0119dnianie zera. Zero spe\u0142nia definicj\u0119 i nie nale\u017cy go wyklucza\u0107.<\/p>\n\n\n\n<p>Drugi problem pojawia si\u0119 przy liczbach ujemnych. W\u0142asno\u015b\u0107 nie zale\u017cy od znaku. Zar\u00f3wno 8, jak i -8 nale\u017c\u0105 do tej samej klasy wzgl\u0119dem modulo 2.<\/p>\n\n\n\n<p>Trzeci b\u0142\u0105d dotyczy j\u0119zyk\u00f3w programowania i operatora modulo dla liczb ujemnych. W r\u00f3\u017cnych j\u0119zykach zachowanie mo\u017ce wygl\u0105da\u0107 inaczej przy innych dzielnikach, wi\u0119c warto zna\u0107 specyfikacj\u0119 j\u0119zyka.<\/p>\n\n\n\n<p>Czwarty problem to mylenie parzysto\u015bci indeksu z parzysto\u015bci\u0105 warto\u015bci. W zadaniach algorytmicznych to bardzo cz\u0119ste.<\/p>\n\n\n\n<p>Pi\u0105ty b\u0142\u0105d to niepotrzebne komplikowanie prostego testu. Je\u015bli potrzebna jest tylko informacja o podzielno\u015bci przez 2, nie ma sensu stosowa\u0107 ci\u0119\u017cszych struktur czy dodatkowych funkcji.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"faq\">FAQ<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-zero-nalezy-do-liczb-parzystych\">Czy zero nale\u017cy do liczb parzystych<\/h3>\n\n\n\n<p>Tak. Mo\u017cna zapisa\u0107 je jako <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mn>0<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u22c5<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">0 = 2 \\cdot 0<\/annotation><\/semantics><\/math>0=2\u22c50, wi\u0119c spe\u0142nia definicj\u0119 algebraiczn\u0105.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-liczby-ujemne-tez-moga-byc-parzyste\">Czy liczby ujemne te\u017c mog\u0105 by\u0107 parzyste<\/h3>\n\n\n\n<p>Tak. Przyk\u0142ad: <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mo>\u2212<\/mo><mn>12<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>\u22c5<\/mo><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mo>\u2212<\/mo><mn>6<\/mn><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">-12 = 2 \\cdot (-6)<\/annotation><\/semantics><\/math>\u221212=2\u22c5(\u22126). Znak nie ma znaczenia dla tej w\u0142asno\u015bci.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-sprawdzanie-przez-modulo-i-przez-operator-bitowy-daje-ten-sam-wynik\">Czy sprawdzanie przez modulo i przez operator bitowy daje ten sam wynik<\/h3>\n\n\n\n<p>Dla standardowych liczb ca\u0142kowitych i testu podzielno\u015bci przez 2 \u2014 tak. Operator bitowy cz\u0119\u015bciej pojawia si\u0119 w kodzie niskopoziomowym.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"dlaczego-parzystosc-jest-wazna-w-algorytmach\">Dlaczego parzysto\u015b\u0107 jest wa\u017cna w algorytmach<\/h3>\n\n\n\n<p>Pozwala szybko podejmowa\u0107 decyzje bez pe\u0142nych oblicze\u0144. Wp\u0142ywa na wydajno\u015b\u0107 p\u0119tli, indeksowanie, szybkie pot\u0119gowanie i wiele struktur matematycznych.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"czy-liczba-pierwsza-moze-byc-parzysta\">Czy liczba pierwsza mo\u017ce by\u0107 parzysta<\/h3>\n\n\n\n<p>Tak, ale tylko jedna: 2. Ka\u017cda wi\u0119ksza liczba parzysta ma dzielnik 2, wi\u0119c nie spe\u0142nia definicji liczby pierwszej.<\/p>\n\n\n\n<p>Parzysto\u015b\u0107 wygl\u0105da na temat elementarny, ale w\u0142a\u015bnie takie elementarne w\u0142asno\u015bci najcz\u0119\u015bciej wracaj\u0105 p\u00f3\u017aniej w trudniejszych dzia\u0142ach matematyki i programowania. Dobrze rozumiana upraszcza dowody, porz\u0105dkuje kod i pozwala szybciej zauwa\u017ca\u0107 b\u0142\u0119dy, zanim stan\u0105 si\u0119 kosztowne.<\/p>\n\n\n\n<p><em>\u0179r\u00f3d\u0142o Foto: Freepik<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Arytmetyka zaczyna si\u0119 od prostych obserwacji: jedne warto\u015bci mo\u017cna rozdzieli\u0107 na r\u00f3wne pary bez reszty, a inne zawsze zostawiaj\u0105 pojedynczy element. To rozr\u00f3\u017cnienie wydaje si\u0119 szkolne i oczywiste, ale wraca p\u00f3\u017aniej w algebrze, kryptografii, analizie algorytm\u00f3w, projektowaniu struktur danych i nawet w elektronice cyfrowej. Bardzo wiele regu\u0142 matematycznych opiera si\u0119 w\u0142a\u015bnie na w\u0142asno\u015bci podzielno\u015bci przez 2, dlatego punktem wyj\u015bcia do dalszego rozumienia s\u0105 liczby parzyste. Dlaczego Liczby parzyste s\u0105 jednym z pierwszych poj\u0119\u0107 porz\u0105dkuj\u0105cych arytmetyk\u0119 Parzysto\u015b\u0107 jest jedn\u0105 z najprostszych w\u0142asno\u015bci liczby ca\u0142kowitej. Nie zale\u017cy od wielko\u015bci liczby, tylko od jej relacji z dzieleniem przez 2. Je\u015bli po podzieleniu przez 2 nie pozostaje reszta, m\u00f3wimy o parzysto\u015bci dodatniej dla tej w\u0142asno\u015bci. To wa\u017cne z dw\u00f3ch powod\u00f3w. Po pierwsze, pozwala szybko klasyfikowa\u0107 liczby bez wykonywania z\u0142o\u017conych oblicze\u0144. W systemie dziesi\u0119tnym wystarczy spojrze\u0107 na ostatni\u0105 cyfr\u0119. Je\u015bli ko\u0144czy si\u0119 na 0, 2, 4, 6 lub 8, w\u0142asno\u015b\u0107 jest spe\u0142niona. Po drugie, parzysto\u015b\u0107 zachowuje si\u0119 przewidywalnie przy dzia\u0142aniach algebraicznych. Dzi\u0119ki temu mo\u017cna bez liczenia pe\u0142nego wyniku okre\u015bli\u0107 cechy sumy, r\u00f3\u017cnicy lub iloczynu. W praktyce szkolnej to wygl\u0105da banalnie, ale w informatyce jest bardzo u\u017cyteczne. Program nie musi zna\u0107 ca\u0142ej warto\u015bci ogromnej liczby, \u017ceby sprawdzi\u0107 jej klas\u0119 wzgl\u0119dem modulo 2. W wielu algorytmach to oszcz\u0119dza czas. Formalna definicja i zapis matematyczny Najkr\u00f3tsza definicja brzmi: liczba ca\u0142kowita jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie ca\u0142kowite kkk, \u017ce mo\u017cna j\u0105 zapisa\u0107 jako 2k2k2k. To wa\u017cniejsze ni\u017c sama regu\u0142a z ostatni\u0105 cyfr\u0105, poniewa\u017c dzia\u0142a nie tylko dla liczb dodatnich, ale te\u017c dla zera i liczb ujemnych. Poj\u0119cie Zapis Przyk\u0142ad Definicja algebraiczna n=2k,&nbsp;k\u2208Zn = 2k,\\ k \\in \\mathbb{Z}n=2k,&nbsp;k\u2208Z 14=2\u22c5714 = 2 \\cdot 714=2\u22c57 Zero 0=2\u22c500 = 2 \\cdot 00=2\u22c50 zero spe\u0142nia warunek Liczba ujemna \u22128=2\u22c5(\u22124)-8 = 2 \\cdot (-4)\u22128=2\u22c5(\u22124) w\u0142asno\u015b\u0107 nadal obowi\u0105zuje Cz\u0119sty b\u0142\u0105d uczni\u00f3w polega na traktowaniu zera jako przypadku specjalnego \u201ebez kategorii\u201d. Matematycznie nie ma tu wyj\u0105tku \u2014 zero nale\u017cy do tej grupy. Jak Liczby parzyste opisuje si\u0119 formalnie w algebrze i teorii podzielno\u015bci Najwi\u0119ksza warto\u015b\u0107 tego poj\u0119cia pojawia si\u0119 wtedy, gdy zaczynamy analizowa\u0107 dzia\u0142ania na liczbach. Nie chodzi ju\u017c o samo rozpoznanie, ale o przewidywanie wyniku bez wykonywania pe\u0142nych oblicze\u0144. Suma i r\u00f3\u017cnica Je\u015bli dodamy dwie liczby tej samej parzysto\u015bci, wynik zachowa w\u0142asno\u015b\u0107 parzysto\u015bci. Je\u015bli parzysto\u015b\u0107 jest r\u00f3\u017cna, wynik b\u0119dzie nieparzysty. Operacja Wz\u00f3r Wynik parzysta + parzysta 2a+2b=2(a+b)2a + 2b = 2(a+b)2a+2b=2(a+b) parzysta nieparzysta + nieparzysta (2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1) parzysta parzysta + nieparzysta 2a+(2b+1)2a + (2b+1)2a+(2b+1) nieparzysta Ta regu\u0142a jest bardzo u\u017cywana w dowodach matematycznych, szczeg\u00f3lnie przy dowodach nie wprost. Przyk\u0142ad klasyczny: pokazanie, \u017ce pierwiastek z 2 nie jest liczb\u0105 wymiern\u0105 wykorzystuje analiz\u0119 parzysto\u015bci kwadrat\u00f3w liczb ca\u0142kowitych. Iloczyn i pot\u0119gi Je\u015bli cho\u0107 jeden czynnik ma w\u0142asno\u015b\u0107 podzielno\u015bci przez 2, ca\u0142y iloczyn te\u017c j\u0105 ma. Operacja Wz\u00f3r Wniosek iloczyn 2a\u22c5b=2(ab)2a \\cdot b = 2(ab)2a\u22c5b=2(ab) wynik parzysty kwadrat liczby parzystej (2a)2=4a2(2a)^2 = 4a^2(2a)2=4a2 wynik parzysty kwadrat liczby nieparzystej (2a+1)2(2a+1)^2(2a+1)2 wynik nieparzysty To istotne np. w analizie p\u00f3l figur na siatkach dyskretnych albo w zadaniach olimpijskich. Reszta z dzielenia i zapis modulo W informatyce zamiast s\u0142owa \u201eparzysto\u015b\u0107\u201d cz\u0119\u015bciej u\u017cywa si\u0119 operacji modulo. Dla dzielenia przez 2 mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwie reszty: To tworzy bardzo prosty model binarny. Warunek Interpretacja nmod\u2009\u20092=0n \\mod 2 = 0nmod2=0 liczba parzysta nmod\u2009\u20092=1n \\mod 2 = 1nmod2=1 liczba nieparzysta W systemach komputerowych jest to szczeg\u00f3lnie naturalne, bo sprz\u0119t operuje na bitach. Najm\u0142odszy bit liczby ca\u0142kowitej m\u00f3wi od razu, czy warunek jest spe\u0142niony. Bit 0 oznacza podzielno\u015b\u0107 przez 2, bit 1 oznacza jej brak. Gdzie Liczby parzyste pojawiaj\u0105 si\u0119 w programowaniu, algorytmach i analizie danych Programista spotyka t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107 znacznie cz\u0119\u015bciej ni\u017c zwykle zauwa\u017ca. Nie chodzi tylko o zadania szkolne typu \u201esprawd\u017a czy liczba jest parzysta\u201d, ale o realne decyzje dotycz\u0105ce wydajno\u015bci, indeksowania tablic, pracy na pami\u0119ci i projektowania algorytm\u00f3w. Sprawdzanie warunku w Pythonie, C i C++ Najcz\u0119stszy zapis wykorzystuje operator modulo. J\u0119zyk Kod Python python\\nn = int(input())\\nif n % 2 == 0:\\n print(\\&#8221;parzysta\\&#8221;)\\nelse:\\n print(\\&#8221;nieparzysta\\&#8221;)\\n C c\\n#include &lt;stdio.h&gt;\\n\\nint main() {\\n int n;\\n scanf(\\&#8221;%d\\&#8221;, &amp;n);\\n\\n if (n % 2 == 0)\\n printf(\\&#8221;parzysta\\\\n\\&#8221;);\\n else\\n printf(\\&#8221;nieparzysta\\\\n\\&#8221;);\\n\\n return 0;\\n}\\n C++ cpp\\n#include &lt;iostream&gt;\\nusing namespace std;\\n\\nint main() {\\n int n;\\n cin &gt;&gt; n;\\n\\n if (n % 2 == 0)\\n cout &lt;&lt; \\&#8221;parzysta\\&#8221; &lt;&lt; endl;\\n else\\n cout &lt;&lt; \\&#8221;nieparzysta\\&#8221; &lt;&lt; endl;\\n\\n return 0;\\n}\\n To rozwi\u0105zanie jest poprawne i czytelne. Operacje bitowe zamiast modulo W kodzie niskopoziomowym cz\u0119sto u\u017cywa si\u0119 operatora bitowego AND. J\u0119zyk Kod C c\\nif ((n &amp; 1) == 0)\\n printf(\\&#8221;parzysta\\\\n\\&#8221;);\\n Python python\\nif (n &amp; 1) == 0:\\n print(\\&#8221;parzysta\\&#8221;)\\n Dlaczego to dzia\u0142a? Liczba binarna ko\u0144cz\u0105ca si\u0119 bitem 0 jest podzielna przez 2. Operacja n &amp; 1 sprawdza w\u0142a\u015bnie ostatni bit. Dla ogromnej liczby iteracji taka forma bywa korzystna, cho\u0107 w nowoczesnych kompilatorach r\u00f3\u017cnica cz\u0119sto jest minimalna. Zastosowanie w indeksowaniu tablic W wielu algorytmach elementy o indeksach parzystych i nieparzystych traktuje si\u0119 osobno. Przyk\u0142ad: Przyk\u0142ad Python Kod suma indeks\u00f3w parzystych python\\narr = [4, 7, 2, 9, 6, 1]\\nsuma = 0\\n\\nfor i in range(len(arr)):\\n if i % 2 == 0:\\n suma += arr[i]\\n\\nprint(suma)\\n Tutaj sprawdzana jest parzysto\u015b\u0107 indeksu, nie warto\u015bci elementu. To cz\u0119sty punkt pomy\u0142ki. Algorytm szybkiego pot\u0119gowania Jedno z wa\u017cniejszych praktycznych zastosowa\u0144 wyst\u0119puje przy szybkim pot\u0119gowaniu. Je\u015bli wyk\u0142adnik jest parzysty, mo\u017cna przej\u015b\u0107 do:an=(an\/2)2a^n = (a^{n\/2})^2an=(an\/2)2 To drastycznie zmniejsza liczb\u0119 operacji. Idea algorytmu Zapis wyk\u0142adnik parzysty an=(an\/2)2a^n = (a^{n\/2})^2an=(an\/2)2 wyk\u0142adnik nieparzysty an=a\u22c5an\u22121a^n = a \\cdot a^{n-1}an=a\u22c5an\u22121 Ta zasada jest podstaw\u0105 wielu algorytm\u00f3w kryptograficznych. Typowe b\u0142\u0119dy praktyczne i miejsca, gdzie naj\u0142atwiej o pomy\u0142k\u0119 Pierwszy b\u0142\u0105d to nieuwzgl\u0119dnianie zera. Zero spe\u0142nia definicj\u0119 i nie nale\u017cy go wyklucza\u0107. Drugi problem pojawia si\u0119 przy liczbach ujemnych. W\u0142asno\u015b\u0107 nie zale\u017cy od znaku. Zar\u00f3wno 8, jak i -8 nale\u017c\u0105 do tej samej klasy wzgl\u0119dem modulo 2. Trzeci b\u0142\u0105d dotyczy j\u0119zyk\u00f3w programowania i operatora modulo dla liczb ujemnych. W r\u00f3\u017cnych j\u0119zykach zachowanie mo\u017ce wygl\u0105da\u0107 inaczej przy innych dzielnikach, wi\u0119c warto zna\u0107 specyfikacj\u0119 j\u0119zyka. Czwarty problem to mylenie parzysto\u015bci indeksu z parzysto\u015bci\u0105 warto\u015bci. W zadaniach algorytmicznych to bardzo cz\u0119ste. Pi\u0105ty b\u0142\u0105d to niepotrzebne komplikowanie prostego testu. Je\u015bli potrzebna jest tylko informacja o podzielno\u015bci przez 2, nie ma sensu stosowa\u0107 ci\u0119\u017cszych struktur czy dodatkowych funkcji. FAQ Czy zero nale\u017cy do liczb parzystych Tak. Mo\u017cna zapisa\u0107 je jako 0=2\u22c500 = 2 \\cdot 00=2\u22c50, wi\u0119c spe\u0142nia definicj\u0119 algebraiczn\u0105. Czy liczby ujemne te\u017c mog\u0105 by\u0107 parzyste Tak. Przyk\u0142ad: \u221212=2\u22c5(\u22126)-12 = 2 \\cdot (-6)\u221212=2\u22c5(\u22126). Znak nie ma znaczenia dla tej w\u0142asno\u015bci. Czy sprawdzanie przez modulo i przez operator bitowy daje ten sam wynik Dla standardowych liczb ca\u0142kowitych i testu podzielno\u015bci przez 2 \u2014 tak. Operator bitowy cz\u0119\u015bciej pojawia si\u0119 w kodzie niskopoziomowym. Dlaczego parzysto\u015b\u0107 jest wa\u017cna w algorytmach Pozwala szybko podejmowa\u0107 decyzje bez pe\u0142nych oblicze\u0144. Wp\u0142ywa na wydajno\u015b\u0107 p\u0119tli, indeksowanie, szybkie pot\u0119gowanie i wiele struktur matematycznych. Czy liczba pierwsza mo\u017ce by\u0107 parzysta Tak, ale tylko jedna: 2. Ka\u017cda wi\u0119ksza liczba parzysta ma dzielnik 2, wi\u0119c nie spe\u0142nia definicji liczby pierwszej. Parzysto\u015b\u0107 wygl\u0105da na temat elementarny, ale w\u0142a\u015bnie takie elementarne w\u0142asno\u015bci najcz\u0119\u015bciej wracaj\u0105 p\u00f3\u017aniej w trudniejszych dzia\u0142ach matematyki i programowania. Dobrze rozumiana upraszcza dowody, porz\u0105dkuje kod i pozwala szybciej zauwa\u017ca\u0107 b\u0142\u0119dy, zanim stan\u0105 si\u0119 kosztowne. \u0179r\u00f3d\u0142o Foto: Freepik<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1337,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-1336","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-poradnik"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1336","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1336"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1336\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1338,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1336\/revisions\/1338"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1337"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1336"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1336"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/trzykody.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1336"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}